こんにちは、はるきです！！
3次関数の最大最小の問題、
場合分けなどが出てくることが多く、
苦手意識がある人も
多いかもしれません😢
しかし、
頻出テーマなので、
苦手意識を無くしておく必要があります！
そこで、みなそんに、
"3次関数の最大最小における、場合分けの3つのポイント"
をお伝えします！
これを知らなければ、
場合分けに漏れやダブり
が出たり、そもそもやり方が
わからなかったり
してしまいます！
逆に、
これを知っていれば、
最適な場合分けができ、
あとは簡単な計算で
正解に辿り着くことができます！
それでは、
その"3つのポイント"をお伝えします！
それは、以下の3つです！
1.グラフの概形が変わるときは分ける(極値をもつかどうか)
2.グラフが動くときも、グラフは固定して区間を動かす
3.区間と極大極小の位置、端点と極大値極小値の大小に着目して分ける
これだけでは分かりづらい
かもしれないので、
例題を１つ使って具体的に
説明していきます！
それでは、以下の例題を考えてみましょう！
「aを実数とする。
区間0≦x≦1における、
f(x)=x^3-3axの最大値Mを求めよ。」
それでは見ていきましょう！
まずf(x)を微分すると、
f'(x)=3x^2-3aになります！
ここで、ポイント1です！
グラフの概形が変わるところ、すなわち、
極値をもつかどうかが変わるところで
場合分けをします！
今回は、a=0です！
a≦0のとき、常にf'(x)≧0なので
極値はもちません！
a>0のとき、
f'(x)=3(x+√a)(x-√a)=0となる、
x=±√aで極値を２つもちます！
なので、a≦0とa>0で場合分けをします！
a≦0のときは、
f'(x)≧0より単調増加なので、
M=f(1)=1-3aです！
a>0のときは、さらに場合分けが必要です！
ポイント2,3です！
グラフを固定し、区間を動かして
考えましょう！
今回は、
極値をとる√aと1の大小、
極値2a√aと端点1-3aの大小
が変わるところで場合分けをします！
場合分けさえできれば、
後は地道に計算するだけです！
このように、
3次関数の最大最小の問題は、
上のポイントを押さえた場合分けで
解くことができます！
これでもう
3次関数の最大最小も怖くありません！
まずは、
これを意識して
実際に1問解いてみましょう！！
練習問題を置いておきますね！
「aを実数とする。
区間-1≦x≦0における、
f(x)=x^3-3axの最大値Mを求めよ。」
これを自分のものにして、
志望校合格を
掴みとりましょう！！
