こんにちは、はるきです！！
倍数・余りに関する証明問題で、
剰余による分類では
上手くいかないときやあまりにも
面倒なときがあると思います！
そこで、みなさんに、
剰余による分類が使えないときの
"倍数・余りの証明方法"
をお伝えします！
これを知らなければ、
膨大な数の場合分け
をするハメになります！
また、それによって
他の問題に割く時間が
なくなり、全体の点数が
下がってしまいます！
逆に、
これを知っていれば、
余計な時間をかけずに、
スマートに解くことが
できます！
それでは、
その方法をお伝えします！
それは、
"連続整数の積の形にする"
というものです！
より詳しく言うと、
"連続するn個の整数の
いずれかはnの倍数であるので、
連続するn整数の積は必ずnの倍数である"
ことを利用します！
これだけでは分かりづらい
かもしれないので、
１つ例題を見てみましょう！
それでは次の問題を考えます！
「nを整数とするとき、f(n)=n(n+1)(n+5)
が3の倍数であることを証明せよ。」
この問題は、
nを3で割った余り
によって場合分けする
"剰余による分類"でも解けるのですが、
今回の方法では、
よりスマートに解くこと
ができます！
うまく式変形することで、
場合分けせずに解答
することができます！
f(n)=n(n+1){(n+2)+3}
=n(n+1)(n+2)+3n(n+1)
ここで、n(n+1)(n+2)は連続3整数の積なので3の倍数です！
また、3n(n+1)も3の倍数なので、
f(n)は3の倍数です！
このように、
"連続整数の積の形にする"
ことで解くことができます！
これでもう
倍数・余りの証明問題も
怖くありません！
まずは、これを意識して
上の問題を自力で
もう一度解いてみましょう！
これを自分のものにして、
志望校合格を
掴み取りましょう！！
