知らないと不定方程式が解けない！？なんでも解ける数学の技！！〜方程式満たす整数解〜

こんにちは、はるきです！！

方程式満たす整数解

を求める問題の中には、

積や商の形を作るのが

難しい問題もあると思います！

そこで、みなさんに、

積や商の形が作れないときの、

"方程式満たす整数解の解法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

何をやっていいかわからず、

手が止まってしまいます！

そして、

方程式満たす整数解の問題が

ずっと解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

無限個の可能性の中から

候補を有限個にしぼり、

着実に答えに

近づくことができます！

そしてそれが、

志望校合格にも繋がります！

それでは、

その方法をお伝えします！

それは、

"不等式で範囲を絞る"

というものです！

○≦n≦◇の形に絞れたら

整数nは有限個に決まるので、

あとはシラミツブシに

調べていきます！

不等式の作り方としては、

以下のようなものがあります！

・自然数より、n>0またはn≧1

・実際の2乗は0以上　n^2≧0

・2次方程式の実数解条件　(判別式)≧0

・対称性から、文字の大小関係　x≦y≦z

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

１つ例題を見てみましょう！

それでは次の問題を考えてみましょう！

「2x+3y=15を満たす

　自然数x,yの組を求めよ。」

この問題では、

有効な積の形は作れません！

そこで、今回の方法です！

与式より2x=15-3yですが、

xは自然数なので、2x≧2です！

よって、15-3y≧2より、y≦13/3

また、yは自然数なので、1≦y≦13/3

これを満たす自然数は、

y=1,2,3,4の4つのみです！

あとは、それぞれを当てはまると、

x,yともに自然数となるのは、

(x,y)=(3,3),(6,1)のときです！

このように、

"不等式で範囲を絞る"

ことで解くことができます！

これでもう

方程式満たす整数解の問題も

怖くありません！

まずは、これを意識して

上の問題を自力で

もう一度解いてみましょう！

"不等式で範囲絞る"

を自分のものにして

志望校合格を

掴み取りましょう！！

そして、

理想のキャンパスライフを

楽しみましょう！！

知らないと不定方程式が解けない！？なんでも解ける数学の技！！〜方程式満たす整数解〜

こんにちは、はるきです！！

「方程式を満たす整数解を求めよ。」

という問題、みなさん一度は

見たことがあると思います！

そこで、みなさんに、

"方程式満たす整数解の解法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

無限にある整数の中で

答えの見当もつきません！

そして、

方程式満たす整数解の問題が

ずっと解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

論理的に正しく正解に

辿り着くことができます！

そしてそれが、

志望校合格にも繋がります！

それでは、

その方法をお伝えします！

それは、

"積・商の形を作り

約数・倍数の関係を用いる"

というものです！

より具体的に説明すると、

・xy=aであれば、x,yはaの約数である

・a/xが整数であれば、xはaの約数である

ことを用います！

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

１つ例題を見てみます！

それでは次の問題を考えてみましょう！

「xy+3x-y-3=5を満たす

　自然数x,yの組を求めよ。」

ポイントは、

"積・商の形を作る"ことです！

この問題では、次のようにして

積の形を作ることができます！

(x-1)(y+3)=5

これにより、x-1,y+3は

5の倍数であることがわかります！

また、x,yは自然数なので、

x-1≧0,y+3≧4です！

よって、x-1=1,y+3=5

すなわちx=2,y=2

と求まります！

このように、

"積・商の形を作り

約数・倍数の関係を用いる"

ことで解くことができます！

これでもう

方程式満たす整数解の問題も

怖くありません！

まずは、これを意識して

上の問題を自力で

もう一度解いてみましょう！

"積・商の形を作る"

を自分のものにして

志望校合格を

掴み取りましょう！！

そして、

理想のキャンパスライフを

楽しみましょう！！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜倍数・余りの証明〜

こんにちは、はるきです！！

倍数・余りに関する証明問題で、

剰余による分類では

上手くいかないときやあまりにも

面倒なときがあると思います！

そこで、みなさんに、

剰余による分類が使えないときの

"倍数・余りの証明方法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

膨大な数の場合分け

をするハメになります！

また、それによって

他の問題に割く時間が

なくなり、全体の点数が

下がってしまいます！

逆に、

これを知っていれば、

余計な時間をかけずに、

スマートに解くことが

できます！

それでは、

その方法をお伝えします！

それは、

"連続整数の積の形にする"

というものです！

より詳しく言うと、

"連続するn個の整数の

いずれかはnの倍数であるので、

連続するn整数の積は必ずnの倍数である"

ことを利用します！

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

１つ例題を見てみましょう！

それでは次の問題を考えます！

「nを整数とするとき、f(n)=n(n+1)(n+5)

　が3の倍数であることを証明せよ。」

この問題は、

nを3で割った余り

によって場合分けする

"剰余による分類"でも解けるのですが、　

今回の方法では、

よりスマートに解くこと

ができます！

うまく式変形することで、

場合分けせずに解答

することができます！

f(n)=n(n+1){(n+2)+3}

     =n(n+1)(n+2)+3n(n+1)

ここで、n(n+1)(n+2)は連続3整数の積なので3の倍数です！

また、3n(n+1)も3の倍数なので、

f(n)は3の倍数です！

このように、

"連続整数の積の形にする"

ことで解くことができます！

これでもう

倍数・余りの証明問題も

怖くありません！

まずは、これを意識して

上の問題を自力で

もう一度解いてみましょう！

これを自分のものにして、

志望校合格を

掴み取りましょう！！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜倍数・余りの証明〜

こんにちは、はるきです！！

模試や入試において、

倍数や余りに関する問題が

証明問題として出ることがあります。

そこで、みなさんに、

"倍数・余りの証明方法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

方針が立たず手も足も

出ない状態になり、

倍数・余りの証明問題が

ずっと解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

１つずつ丁寧に解答を作り

上げていくことができます！

それでは、

その方法をお伝えします！

それは、

"剰余による分類"です！

倍数、余りに関する証明問題

の解法としては最も基本的な解法で、

ある数で割った余りで

場合分けをします！

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

１つ例題を見てみます！

それでは次の問題を見てみましょう！

「nを整数とするとき、f(n)=n(n+1)(n+5)

　が3の倍数であることを証明せよ。」

今回は、nを3で割った

余りで場合分けをします！

kを整数として、

次の3つで分けて考えましょう！

⑴n=3kのとき

　f(n)=3・k(3k+1)(3k+5)

　より、f(n)は3の倍数です！

⑵n=3k+1のとき

　f(n)=3・(3k+1)(3k+2)(k+2)

　より、f(n)は3の倍数です！

⑶n=3k+2のとき

　f(n)=3・(3k+2)(k+1)(3k+7)

　より、f(n)は3の倍数です！

よって、⑴〜⑶より、

いずれの場合もf(n)は3の倍数です！

このように、

"剰余による分類"を使って、

倍数・余りの証明問題を

解くことができます！

これでもう

倍数・余りの証明問題も

怖くありません！

まずは、これを意識して

上の問題を自力で

もう一度解いてみましょう！

これを自分のものにして

志望校合格を

掴み取りましょう！！

知らないと場合の数が解けない！？なんでも解ける数学の技！！〜数え上げ〜

こんにちは、はるきです！！

場合の数で数え上げるとき、

漏れたりダブったりしてしまう

ことがあると思います！

せっかく惜しいところまで

いったのにちょっとずれてしまうのは

とてももったいないです！

そこで、みなさんに、

"数え上げの方法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

正しく数えられず、

惜しいところまではいけても

ずっと正解できないままです！

その結果、模試や入試本番で

悔しい思いをしてしまいます！

逆に、

これを知っていれば、

ときにラクして正解を

導くことができます！

そしてそれが、

志望校合格にも繋がります！

それでは、

その方法をお伝えします！

それは、"重複度で割る"

というものです！

まず出てくるもの全てを異なる

ものとして計算し、

その後に、同じものが含まれる

ことによる重複を考えます！

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

１つ例題を見てみましょう！

それでは次の問題を見てみましょう！

「a,a,a,b,b,cの順列の総数を求めよ。」

この問題では、

"重複度で割る"

という方法が使えます！

まず、出てくる6つをすべて異なる

ものとして計算すると、

6!通りの順列があります！　

しかし、実際は3つのaと2つのbは

同じものなので、重複が出てきます！

その重複度は、

3つのaの並べ方で3!通り、

そのそれぞれに対して、

2つのbの並べ方で2!通りあります！

よって、重複度で割ると、

求める順列の総数は、

6!/2!3!=60通りです！

このように、

"重複度で割る"

という方法でラクして

数えることができます！

これでもう

場合の数も怖くありません！

まずは、

これを意識して

上の問題を自力で

もう一度解いてみましょう！

"重複度で割る"を自分のものにし

場合の数を得点源にすることで、

志望校合格を

掴み取りましょう！！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜数え上げ〜

こんにちは、はるきです！！

場合の数を数え上げるとき、

モレたりダブったりしてしまう

ことがあると思います！

しかし、

数え上げを間違えると、

当然答えも間違えてしまいます！

そこで、みなさんに、

"数え上げの方法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

モレたりダブったりして、

どれだけ時間と労力をかけても

正解に辿り着けません！

そして、

場合の数がずっと

解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

短い時間で正確に

数え上げることで、

正答率を高めること

ができます！

それでは、

その方法をお伝えします！

それは、

"条件(制限)の強いところ

から決める"というものです！

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

１つ例題を見てみたいと思います！

それでは、次の問題を見てみましょう！

「1,2,…nの順列a1,a2,…anのうち、

　ai≧i(i=1,2,… n-1)かつan≦nを満たす

　ものの個数を求めよ」

この問題において、

"1番制限の強いところ"は、

an-1です！

an-1は、n-1,nの2通りです！

次に制限の強いan-2は、

n-2,n-1,nのうち、an-1以外の2通りです！

あとはこれを繰り返します！

最後a1は、1〜nのうち、

a2〜an-1以外の2通りです！

そして最後に残ったのがanです！

よって、答えは2^n-1です！

このように、"条件(制限)の

強いところから決める"

ことで、正確に数え上げることが

できます！

これでもう

場合の数も怖くありません！

まずは、これを意識して、

上の問題を自力で

もう一度解いてみましょう！

これを自分のものにして、

志望校合格を

掴み取りましょう！！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜場合の数・確率〜

こんにちは、はるきです！！

場合の数・確率の問題は、

頻出の単元で、

模試や入試で出る可能性も高いです！

しかし、

周りの正答率が高いため、

絶対に落とすわけにはいきません！

そこで、みなさんに、

"場合の数・確率の解法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

自分だけが点数を落として

かなり不利になって

しまいます！

逆に、

これを知っていれば、

最適な解法で、

余計な時間をかけずに

正解に辿り着く

ことができます！

それでは、　

その解法をお伝えします！

それは、"漸化式を立てて解く"

というものです！

"現在の状況がそれ以前の状況に

影響を受けるとき"は、

漸化式が有効かもしれません！

また、

具体的に小さい数字

で実験しましょう！

実験で何か見えてくることがあります！

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

実際に1問例題を見てみましょう！

それでは、以下の問題を考えます！

「相異なるn個の要素からなる

　部分集合はいくつあるか」

この問題は、漸化式を使って

解くことができます！

n個の異なる要素でAn個の部分集合

があるとします！

このとき、既存するA個の部分集合

に対して、新たな一つの要素を加えると

新たにAn個の異なる部分集合

ができます！

よって、An+1=2Anです！

これとA1=2から、

An=2^nが求まります！

このように、漸化式を使って

解くことができます！

これでもう

場合の数・確率も怖くありません！

まずは、これを意識して

上の問題を自力で

もう一度解いてみましょう！

これを自分のものにして、

志望校合格を

掴み取りましょう！！