知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜図形量の最大・最小〜

こんにちは、はるきです！！

長さ、面積、体積、角度などの、

図形量に関する最大最小の問題は、

どう考えていいかわからない…

という人もいるかもしれません。

しかし、

実はそんなに難しいものではありません！

そこで、みなさんに、

"図形量の最大最小の解法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

ただ図形を眺めるだけで

時間が過ぎてしまいます！

そして、図形量の最大最小が

ずっと解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

着実に答えに近づき、

仮に完答できなくても

部分点をもらうことができます！

それでは、

その"解法"をお伝えします！

それは、以下です！

「図形量の最大最小」

A.幾何的解法

　　求める図形を幾何的に考察し、

　　最大最小となる図形的状態を求め、

　　それを丁寧に論証します！

B.代数的解法

　　数式を使って代数的に解きます！

　　具体的には以下の3ステップです！

　　1.動くものに文字置く(範囲に注意⚠️) 

       2.求める図形を数式化

　　3.その関数の最大値最小値を求める

この２つを常に

頭の片隅に置いておき、

一方でつまったら

もう一方も試す

ようにしましょう！

また、いずれの方法でも、

"図を丁寧に書く"

ように心掛けましょう！

図が雑だと、

ミスに繋がります！

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

実際に1問例題を見てみましょう！

それでは、以下の問題を考えます！

「xy平面上に3点A(2,1),B(s,s),C(t,0)をとる。

 AB+BC+CAを最小とするs,tを求めよ。」

まずこの問題を見ると、

普通は代数的解法で解こうとします！

文字は既に置かれているので、

あとは代数的に処理するだけです！

しかし、計算すると、

AB+BC+CA=√2s^2-6s+5 +√2s^2-2st+t^2 +…

となり、これの最大最小を考えるのは、

得策とは言えません！

そこで、幾何的解法です！

この問題を幾何的に考察します！

Aを、y=x,x軸に関して対称移動

した点をそれぞれA1,A2とすると、A1(1,2),A2(2,-1)となります。

このとき、

AB+BC+CA=A1B+BC+CA2≧A1A2

となります！

よって、直線A1A2と、直線y=x,x軸

の交点をそれぞれ求めて、

s=5/4,t=5/3となります！

このように、

図形量の最大最小の問題は、

上のいずれかの解法で

"必ず"解くことができます！

これでもう

図形量の最大最小も怖くありません！

まずは、これを意識して

上の問題を自力で

もう一度解いてみましょう！

これを自分のものにして、

志望校合格を

掴み取りましょう！！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜離散変数関数の最大値・最小値〜

こんにちは、はるきです！！

場合の数、確率、数列などの、

離散的な関数の最大最小は、

触れる機会も多くはないので、

得意な人は少ないかもしれません。

しかし、

実はそんなに難しいものではありません！

そこで、みなさんに、

"離散変数関数の最大最小の解法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

普段あまり見ない問題

というだけでビビってしまい、

手が止まってしまいます！

そして、

離散変数関数の最大最小が

ずっと解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

スラスラ手が動き、

無駄な思考の時間を

なくすことができます！

それでは、

その"解法"をお伝えします！

それは、以下です！

「離散変数関数の最大最小」

1.隣の項との大小を調べる

　　Pn+1/Pnと1の大小やPn+1－Pnの正負から、

　　PnとPn+1の大小を調べることが多いです！

　　基本的にはnによる場合分けが要る

　　ことを頭に入れておきましょう！　　

2.増減をすべて書き出す

　　ステップ1での場合分けと隣接項の関係

　　をもとに、

　　次のように増減を全て書き出します！

　　P1＜P2＜…＜P⚫︎＞P⚫︎+1＞…

       ⚠️頭の中で考えることもできますが、

　　　ミスの元になるので、

　　　必ず書き出しましょう！

離散変数関数の最大最小の問題のほとんどは、

上の方法で解くことができます！

これでもう

離散変数関数の最大最小も怖くありません！

まずは、

これを意識して

実際に1問解いてみましょう！！

これを自分のものにして、

点数アップに繋げましょう！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜3次関数の最大・最小〜

こんにちは、はるきです！！

3次関数の最大最小の問題、

場合分けなどが出てくることが多く、

苦手意識がある人も

多いかもしれません😢

しかし、

頻出テーマなので、

苦手意識を無くしておく必要があります！

そこで、みなそんに、

"3次関数の最大最小における、場合分けの3つのポイント"

をお伝えします！

これを知らなければ、

場合分けに漏れやダブり

が出たり、そもそもやり方が

わからなかったり

してしまいます！

逆に、

これを知っていれば、

最適な場合分けができ、

あとは簡単な計算で

正解に辿り着くことができます！

それでは、

その"3つのポイント"をお伝えします！

それは、以下の3つです！

1.グラフの概形が変わるときは分ける(極値をもつかどうか)

2.グラフが動くときも、グラフは固定して区間を動かす

3.区間と極大極小の位置、端点と極大値極小値の大小に着目して分ける

これだけでは分かりづらい

かもしれないので、

例題を１つ使って具体的に

説明していきます！

それでは、以下の例題を考えてみましょう！

「aを実数とする。 

 区間0≦x≦1における、

 f(x)=x^3-3axの最大値Mを求めよ。」

それでは見ていきましょう！

まずf(x)を微分すると、

f'(x)=3x^2-3aになります！

ここで、ポイント1です！

グラフの概形が変わるところ、すなわち、

極値をもつかどうかが変わるところで

場合分けをします！

今回は、a=0です！

a≦0のとき、常にf'(x)≧0なので

極値はもちません！

a>0のとき、

f'(x)=3(x+√a)(x-√a)=0となる、

x=±√aで極値を２つもちます！

なので、a≦0とa>0で場合分けをします！

a≦0のときは、

f'(x)≧0より単調増加なので、

M=f(1)=1-3aです！

a>0のときは、さらに場合分けが必要です！

ポイント2,3です！

グラフを固定し、区間を動かして

考えましょう！

今回は、

極値をとる√aと1の大小、

極値2a√aと端点1-3aの大小

が変わるところで場合分けをします！

場合分けさえできれば、

後は地道に計算するだけです！

このように、

3次関数の最大最小の問題は、

上のポイントを押さえた場合分けで

解くことができます！

これでもう

3次関数の最大最小も怖くありません！

まずは、

これを意識して

実際に1問解いてみましょう！！

練習問題を置いておきますね！

「aを実数とする。 

 区間-1≦x≦0における、

 f(x)=x^3-3axの最大値Mを求めよ。」

これを自分のものにして、

志望校合格を

掴みとりましょう！！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜3次方程式の解の個数〜

こんにちは、はるきです！！

3次方程式の解の個数の問題、

途中で頭がごちゃごちゃに

なってしまいがちです😵

しかし、

避けて通ることはできません！

そこで、みなさんに、

"3次方程式の解の個数の問題

を解くための3つのステップ"

をお伝えします！

これを知らなければ、

途中で、

自分が今何をしていて

何を求めたいのか

を見失ってしまうでしょう。

そして、

3次方程式の解の個数の問題

がずっと解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

無駄なく確実に

正解を導くことができます！

それでは、

その"3つのステップ"をお伝えします！

それは、以下の3つです！

1.因数分解check

　　できる場合は、

　　2次以下の方程式に帰着できます！

　　できない場合は、ステップ2へ！     

2.定数分離、直線分離check

      できる場合は、分離して

　　グラフの交点と考えます！

　　ポイントは、

　　比べやすいグラフで考えることです！

　　できない場合は、ステップ3へ！

3.極値の正負比べる

       極大値×極小値 < 0  → 解3個

　　極大値×極小値 = 0  → 解2個

　　極大値×極小値 > 0 or 極値なし  → 解1個

　　を使いましょう！

3次方程式の解の個数の問題は、

上のいずれかの方法で

"必ず"解くことができます！

これでもう

3次方程式の解の個数の問題も怖くありません！

まずは、

これを意識して

実際に1問解いてみましょう！！

これを自分のものにして、

得点アップを実現させましょう！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜不等式〜

こんにちは、はるきです！！

不等式やその解に関する問題は、

ややこしくなりがちです😨

そこで、みなさんに、

''不等式に使える3つの解法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

遠回りをして

符号や計算間違いをしたり、

そもそも全くわからなかったり

してしまいます！

そして、

不等式の問題が

ずっと解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

最短の経路で、

計算量も少なく

答えに辿り着くこと

ができます！

それでは、

その"3つの解法"をお伝えします！

それは、以下の3つです！

「不等式」

1.解いて解求める

　　まずは因数分解できるか調べて、

　　解けるようであれば

　　実際に解いてみましょう！

2.グラフの上下で比べる

　　比べやすいグラフで比べる

　　ように意識しましょう！

3.絶対不等式を使う

　　絶対不等式は、

　　頭の隅っこに入れておきましょう！

不等式の問題のほとんどは、

上のいずれかの方法で

"必ず"解くことができます！

これでもう

不等式の問題も怖くありません！

まずは、

これを意識して

実際に1問解いてみましょう！！

これを自分のものにして、

得点アップを実現しましょう！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜方程式〜

こんにちは、はるきです！！

方程式やその解に関する問題は、

易しいものから難しいものまで

難易度は様々です！

そこで、みなさんに、

"方程式に使える3つの解法"

をお伝えします！

これを知らなければ、

答えが出なくてむずむずし、

他の問題を解いてるときも

頭の片隅に残り続けるでしょう！

また、方程式の問題が

ずっと解けないままです！

逆に、

これを知っていれば、

綺麗に答えが出て

とても気持ち良いと思えます！

それでは、

その"3つの解法"をお伝えします！

それは、以下の3つです！

「方程式」

1.解いて解求める

　　まずは因数分解できるかを調べ、

　　実際に解けるようなら

　　解を求めましょう！

2.グラフの交点と考える

　　ポイントは、

　　曲線は固定し直線を動かすこと、

　　種類の違う関数は分離することです！

　　また、置換する場合は解の対応を

　　調べるのを忘れないように注意しましょう！

3.解を置いて考える

　　上の２つが難しいときは、

　　自分で解を設定し、

　　与えられた条件を

　　数式化していきましょう！

ポイントは、

"1から順番に考える"

ことです！

特に、

因数分解のチェックは

絶対に忘れないよう

にしましょう！

方程式の問題は、

上のいずれかの方法で

"必ず"解くことができます！

これでもう

方程式の問題も怖くありません！

まずは、

これを意識して

実際に1問解いてみましょう！！

これを自分のものにして、

方程式を得点源

にしましょう！！

知らないと損！なんでも解ける数学の技！！〜多変数関数の最大・最小〜

こんにちは、はるきです！！

多変数関数の最大最小の問題、

「色んな文字が出てきてややこしい😰」

と感じることが多いと思います。

しかし、

多変数関数の問題は

苦手な人が多く、

他の人と差をつけやすい分野です！

そこで、みなさんに、

"最大最小に使える解法"

をお伝えします！

特に、今回は、

複雑な多変数関数の最大最小

に使えるものです！

これを知らなければ、

複雑な式や大量の文字を見ただけでビビってしまいます！

そして、

永遠に解けないままになってしまいます！

逆に、

これを知っていれば、

多くの人が苦手とする分野で

他の人と差をつけることができます！

それでは、

その解法をお伝えします！

それは、

"求める式=kと置き、

kの範囲を調べる"

というものです！

これは、

"複雑な等式条件"があるとき

に有効です！

"複雑な等式条件"があるときは、

この解法の可能性を

考えてみましょう！

これだけでは

わかりにくいかもしれないので、

一つ例題を見てみましょう！

それでは次の問題を考えてみます！

「x^2+y^2+xy=1のとき、

　x-yの最大値、最小値を求めよ」

x^2+y^2+xy=1は、

少し扱いづらい、

"複雑な等式条件"です！

そこで、この解法の出番です！

求める式を、x-y=kと置きます！

あとは簡単です！

y=x-kをx^2+y^2+xy=1に代入して

出てくる式、3x^2+3kx+k^2-1=0

について、(判別式)>=0を考えれば、

-2<=k<=2が出てきます！

このように、

この解法を知っておくことは、

多変数関数の最大最小を解く上で、

大きな武器になります！

これでもう

複雑な関数も怖くありません！

まずは、

これを意識して

実際に1問解いてみましょう！！

これを自分のものにして、

目標の国公立合格を
掴みとりましょう！!